Pi Everywhere: het probleem van Bazel en oneindige sommen

In de volgende stap vervang je de vier vuurtorens door elk twee nieuwe, zodat je acht lichtbronnen krijgt – en het meer verdubbelt. De procedure wordt keer op keer herhaald. Het opmerkelijke: de afstanden tussen de lichtbronnen blijven altijd hetzelfde, net als de voetgangersdoorgang naar de eerste toren.

Terug naar het oorspronkelijke Buzzler-probleem

Hoe groter het meer, hoe meer het op de zee lijkt. Op een gegeven moment is het tegenoverliggende strand niet meer zichtbaar en lijkt de kust in een rechte lijn te gaan. Rechts en links verschijnen bakens met regelmatige tussenpozen van twee kilometer lang. De gecombineerde helderheid van alle lichtbronnen π blijft op de positie van de waarnemer²/ 4.

Dit komt heel dicht bij het Bazelse probleem. Je kunt je voorstellen dat de waarnemer op nul staat en de bakens op plus en min één, plus en min drie, plus en min vijf, enzovoort. Het doel is nu om deze structuur aan te passen aan het Basel-probleem en zo de helderheid te bepalen die overeenkomt met de limiet van de oneindige som. Om onze geconstrueerde situatie in overeenstemming te brengen met het werkelijke probleem, kan men eerst alle bakens in het negatieve gebied verwijderen. Dit vermindert de helderheid met de helft, dus het is slechts π²/ VIII. Nu bevinden zich bakens op alle oneven nummers, dus alleen die op even nummers ontbreken. Deze kunnen nu subtiel gevuld worden met lichtbronnen voor het Baszler probleem.

Stel dat de vereiste helderheid voor het Basler-probleem is h. Als je de lege plekken in de even getallen met deze structuur wilt invullen, moet je het baken van de eerste positie naar de tweede positie in onze positie verplaatsen; één van de tweede positie naar de vierde positie; één van positie drie naar positie zes, enzovoort. gelijkmatige helderheid h Voor het Basler-probleem moet men onze situatie beschouwen met een grootte van π²/ 8 Verdubbel vervolgens de afstand tussen de lichtbronnen voor de Basler-instelling, wat resulteert in helderheid h En voeg het volgende toe: h =²/ 8 + h.

Door de afstand van elke lichtbron tot het Basler-probleem te verdubbelen, wordt de totale helderheid gehalveerd, d.w.z. h = ^h₂. Hiermee kun je de algehele helderheid zien h rekenen: h =²/ 8 + ^h₂. Door deze vergelijking te volgen h Smeltend, krijg je het resultaat waar je naar op zoek bent en waar mensen al eeuwen van versteld staan: h =²/ 6.

Wat is je favoriete wiskundetheorie? Voel je vrij om het in de comments te schrijven – en misschien wordt het binnenkort het onderwerp van deze column!