De opmerkelijke eigenschappen van de driehoek van Pascal

De ingangen in de driehoek van Pascal volgen echter ook enkele meer voor de hand liggende patronen: de diagonalen van de driehoek, die parallel lopen aan de buitenste rijen van de ene, geven bijvoorbeeld de natuurlijke getallen weer. De reden hiervoor is dat de getallen in de volgende rij altijd zijn samengesteld uit de som van de twee bovenstaande waarden: omdat er altijd één getal op de buitenste rand staat, wordt de reeks elke stap met één verhoogd.

Interessant zijn ook de diagonalen direct grenzend aan de waarden 1, 3, 6, 10, 15, enz. Dit zijn driehoeksgetallen: het aantal stenen dat je nodig hebt om een ​​gelijkzijdige driehoek uit te kunnen zetten. Deze aflevering verschijnt omdat nHet derde driehoeksgetal voor de som van 1 + 2 + … + n equivalent. Dit kan volgens Gaussiaanse somformule Er doorheen n(nBereken +1) / 2 – en dat is zo ongeveer de waarde B(n+1, 2), d.w.z. instappen n+ eerste rij en tweede kolom van de driehoek van Pascal.

Een andere eigenschap met betrekking tot driehoeken kan worden gezien door de oneven en even ingangen van de driehoek van Pascal anders te kleuren. Zoals François-Edouard Anatole Lucas bewees in 1890, creëert dit een patroon dat sommigen misschien bekend in de oren klinkt: het is een fractal die de Sierpinski-driehoek wordt genoemd. Dit kan worden geconstrueerd door een gelijkzijdige driehoek te verdelen in vier kleinere congruente driehoeken en de middelste driehoek te verwijderen. Door dit proces keer op keer te herhalen met de drie resterende kleinere driehoeken, ontstaat een fractaal patroon dat ook kan worden waargenomen in de driehoek van Pascal.

Andere opmerkelijke vertegenwoordigers van de wiskunde zijn ook terug te vinden in de driehoek van Pascal: bijvoorbeeld de rij van Fibonacci. Deze oneindig lange reeks natuurlijke getallen wordt geconstrueerd door te beginnen met het getal 1, gevolgd door nog een 1 en vervolgens de som te maken van de twee voorgaande elementen van de reeks: 1, 1, 2 (= 1 + 1), 3 (= 1 + 2), 5 (= 2 + 3), 8 (= 3 + 5), 13 (= 5 + 8), 21 (= 8 + 13) enzovoort. Deze reeks ontstaat ook door de cumulatieve structuur van de driehoek van Pascal: elk getal in een rij is het resultaat van de optelling van de twee getallen erboven.

Een deel van de reden waarom de Fibonacci-reeks zo populair is, is dat het bij veel mensen de groei beschrijft De processen van de natuur zijn waar te nemenDe rangschikking van de kernen in een zonnebloem volgt bijvoorbeeld de Fibonacci-reeks. In de driehoek van Pascal kun je de individuele termen van de reeks vinden als je de invoer voor alle korte diagonalen optelt, zoals weergegeven in de onderstaande afbeelding:

Nog steeds niet genoeg? De driehoek van Pascal heeft nog vele andere interessante eigenschappen. Men vindt er bijvoorbeeld ook Mersenne priemgetallen in. Dit zijn getallen in de vorm van 2ⁿ1 die geen andere delers heeft dan 1 en zichzelf, bijvoorbeeld: 2²−1 = 3, 2³−1 = 7, 2⁵−1 = 31, 2⁷−1 = 127 enzovoort. De grootste Mersenne-kop die momenteel bekend is, is waardevol n = 82589933 gegeven. waren door een Gezamenlijk onderzoeksproject Gevonden waar vrijwilligers hun rekenkracht doneren om Mersenne priemgetallen te onderzoeken. En inderdaad, alle getallen die op afbeelding 2 staan ​​verschijnenⁿ−1 komt ook voor in de driehoek van Pascal: hiervoor hoef je alleen maar naar alle ingangen te zoeken tot aan een bepaalde rij n Toevoegen. Als je ongeveer 2 bent⁵Als je −1 wilt berekenen, moet je alle items tot aan de vijfde rij optellen. Aangezien de som van elke rij de corresponderende macht van twee is, is het resultaat: 2⁰+2¹+2²+2³+2⁴ = 31, wat het priemgetal van Mersenne is n = 5 komt overeen.