De constante van Apery zit vol verrassingen

Voor even exponenten geeft de functie ζ altijd een irrationeel (en zelfs transcendentaal) getal terug. Maar tot de ontdekking van Apéry in 1979 wist niemand hoe oneven natuurlijke getallen eruit zagen. Zijn argument was het eerste dat de irrationaliteit van een vreemde exponent aantoonde. Tot op de dag van vandaag is de bewijsmethode van Apéry niet toegepast op andere getallen. We weten echter dat de functie een irrationele waarde retourneert voor ten minste één van de getallen 5, 7, 9 of 11.

Priemgetallen, integralen en fotonendichtheid

Het is niet verrassend dat de Apéry-constante ook wordt geassocieerd met priemgetallen. De functie staat immers centraal in het beroemde vermoeden van Riemann, een van de grootste onopgeloste problemen in de wiskunde, dat gaat over de verdeling van priemgetallen. De relatie tussen de constante van Apéry en priemgetallen kan heel direct worden gezien in een alternatieve weergave, waar de constante wordt gegeven als het oneindige product van de uitdrukking 1/(1−)S^-3) op de reeks priemgetallen S Is geschreven. Je kunt de constante van Apéry ook weergeven als een integraal, wat betekent dat deze constante ook in de analyse voorkomt. Je kunt ze ook op andere verrassende gebieden tegenkomen, bijvoorbeeld wanneer je de gemiddelde dichtheid van fotonen in de kosmische achtergrondstraling wilt bepalen. Maar het is ook te vinden in de mechanica van vloeistofstroming, in het onderzoek van bronnen van thermische straling (zoals sterren) en op verschillende andere gebieden van de natuurkunde en astronomie.

Carl Ludwig Siegel (1896–1981), een van de belangrijkste wiskundigen van de twintigste eeuw, becommentarieerde Abery’s bewijs van irrationaliteit met de volgende woorden: “Je kunt het bewijs alleen als een kristal voor je houden.” Hierin is begrijpelijk. Het is echter te hopen dat wiskundigen het bewijs in de toekomst niet alleen voor zich zullen dragen, maar het ook zullen blijven analyseren. Want wie weet welke ideeën de constante te bieden heeft.