Bonte reeks: een handige misrekening die helpt bij fractals

Als je alle breuken tussen 0 en 1 wilt tellen, is hun noemer max n = 99, dan kun je eerst kijken naar de kleinere noemers van de patronen: er zit een breuk in de noemer n = 1 (¹⁄₁), twee breuken met een noemer van 2 (¹⁄₂En de ²⁄₂), drie breuken met een noemer van 3 (¹⁄₃En de ²⁄₃En de ³⁄₃) enz. Het bestaat dus over het algemeen n Breuken met noemers n. Als je al deze dingen bij elkaar optelt, krijg je: 1 + 2 + 3 + … + 99 = 4950. Dit is echter niet de juiste oplossing voor de opgave die voorhanden is – omdat je op deze manier een aantal breuken hebt geteld vaak, bijvoorbeeld: ¹⁄₂ En de ²⁄₄ of ¹⁄₁ En de ²⁄₂. In Ladies’ Diaries wordt expliciet de vraag gesteld hoeveel breuken verschillende waarden hebben – dat wil zeggen, perfect afgekorte uitdrukkingen.

Om het probleem aan te pakken, is het de moeite waard om breuken nader te bekijken. Stel dat een van hen alle breuken tussen 0 en 1 opsomt die een noemer van maximaal 4 hebben: {⁰⁄₁En de ¹⁄₄En de ²⁄₄En de ³⁄₄En de ⁴⁄₄En de ¹⁄₃En de ²⁄₃En de ³⁄₃En de ¹⁄₂En de ²⁄₂En de ¹⁄₁}. Nu moet je alle breuken zoveel mogelijk verkleinen en de getallen rangschikken. Dit resulteert in een hoeveelheid gelijk aan F₄ Het heet: F₄ = {0, ¹⁄₄En de ¹⁄₃En de ¹⁄₂En de ²⁄₃En de ³⁄₄, 1}. Er blijven dus 7 van de oorspronkelijke 11 waarden over. Wat gebeurt er als je de toegestane noemer neemt n verhoogd tot vijf? De lijst is dan: F₅ = {0, ¹⁄₅En de¹⁄₄En de ¹⁄₃En de²⁄₅En de ¹⁄₂En de ³⁄₅En de ²⁄₃En de ³⁄₄En de ⁴⁄₅}.

Als je goed naar de cijfers kijkt, zie je misschien een patroon. Als u drie opeenvolgende nummers uit een lijst kiest, bijvoorbeeld: ¹⁄₂En de ³⁄₅En de ²⁄₃dan het middelste getal (³⁄₅) is altijd de “som van het begin” van de andere twee breuken (^{(1 + 2)}⁄_{(2 + 3)} = ³⁄₅). In sommige gevallen is dit verband niet direct duidelijk omdat het resultaat nog ingekort moet worden: ¹⁄₄En de ¹⁄₃En de ²⁄₅: ^{(1 + 2)}⁄_{(4 + 5)} = ³⁄₉ = ¹⁄₃.