De gulden snede: wat is wiskundig mooi?

De gulden snede komt zelden voor in de natuur

En φ wordt lang niet zo vaak in de natuur aangetroffen als sommige mensen achteloos beweren. De spiraalvormige schelp van parelbootjes wordt vaak als voorbeeld aangehaald. Om te begrijpen hoe dit zich verhoudt tot φ, moet je de gouden rechthoek nader bekijken. Deze heeft zijdelengtes L en A, waar ^naar⁄_A = φ.

Een rechthoek kan worden verdeeld in een vierkant met zijdelengte A en een rechthoek met zijdelengte A en B – A en B hebben ook een volumeverhouding φ. Rechthoek AB kan ook worden verdeeld in een vierkant met zijdelengte B en een kleinere rechthoek. Je kunt altijd zo doorgaan. Uiteindelijk verschijnen er binnen de gouden rechthoek steeds kleinere vierkanten en rechthoeken, die een beeldverhouding van φ hebben.

Nu kun je in elk vierkant een kwart cirkel tekenen. Hierdoor ontstaat een spiraalvormige curve. Dit is precies wat vaak wordt geassocieerd met de spiralen die in de natuur voorkomen: van parelboten tot orkanen tot brekende golven. Maar dit is verkeerd. Strikt genomen zit er geen spiraal in de gouden rechthoek, maar alleen cirkelbogen die naast elkaar zijn opgesteld. Bij overgangen (dat wil zeggen wanneer een cirkelboog een kleinere boog ontmoet) vormen ze geen vloeiende curve, maar zijn ze licht gebogen. Dergelijke oneffenheden kom je zelden in de natuur tegen. Het blijkt dat bijna alle natuurlijke spiralen logaritmische spiralen worden genoemd.

Het meest rationele van alle irrationele getallen

Vanuit wetenschappelijk oogpunt is de gulden snede echter zeer interessant. φ wordt door sommige wiskundigen bijvoorbeeld beschreven als het meest ‘irrationele’ van alle irrationele getallen. Toen ik dit voor het eerst hoorde, was ik verrast. Omdat de eigenschap ‘rationeel’ of ‘irrationeel’ geen continu spectrum is. Ofwel kan de waarde worden weergegeven als een fractie van twee gehele getallen, ofwel niet.

In feite kunnen niet alle irrationele getallen op gelijke wijze worden benaderd met behulp van een “eenvoudige” breuk. Neem bijvoorbeeld het cirkelvormige getal π: een goede benadering voor de irrationele waarde is ²²⁄₇, die slechts afwijkt van π tot op de derde decimaal. Maar de breuk is overtuigender ³⁵⁵⁄₁₁₃. Een breuk verschilt alleen van π tot op de zesde decimaal.

Er zijn echter geen eenvoudige benaderingen van de gulden snede. Als je φ via breuken wilt bereiken, groeien de gehele getallen die in de breuken voorkomen snel. Het blijkt dat de Gulden Snede heel moeilijk te benaderen is met behulp van rationale getallen – en daarom vanuit wiskundig perspectief een van de meest irrationele getallen aller tijden is. Misschien is het dus beter om erover te praten om de eigenaardigheden van de gulden snede te benadrukken. Maar dit wekt waarschijnlijk minder interesse dan schattige honden of aantrekkelijke actrices.