Het afgeleide in plaats van het integrale: een revolutie in analyse

Deze term kan worden herschreven met behulp van afgeleiden van de exponentiële functie. Het doel is om de factoren te identificeren x^K Te vervangen uit de vergelijking. Het cijfer achteraf lijkt ingewikkelder, maar blijkt later erg handig te zijn om de integratie te vereenvoudigen. Hier is de cruciale praktische eigenschap dat de afgeleide van de exponentiële functie weer de exponentiële functie is:

\[ f(x) = \lim_{\epsilon \to 0}\sum_{k=0}^\infty a_k x^k e^{\epsilon x} = \lim_{\epsilon \to 0}\sum_{k=0}^\infty a_k \left(\frac{d}{d \epsilon}\right)^k e^{\epsilon x}\]

Bij elke afleiding van de exponentiële functie ten opzichte van één verkrijgt men volgens de kettingregel a x als factor. Je bent bijna klaar. Omdat het blijkt dat je de oneindige reeks kunt teruggeven aan de oorspronkelijke functie F Herschrijven. Het argument verandert echter: de stroomketen is niet langer afhankelijk van x Maar het is afgeleid met betrekking tot:

\[ f(x) = \lim_{\epsilon \to 0}\sum_{k=0}^\infty a_k \left(\frac{d}{d \epsilon}\right)^k e^{\epsilon x} = \lim_{\epsilon \to 0} f \left(\frac{d}{d \epsilon}\right) e^{\epsilon x} \]

Je hebt je doel al bereikt. Door deze functie in een integraal te substitueren, kan men vereenvoudigen om de integraal helemaal kwijt te raken. Dan F Het is niet langer afhankelijk van de integratievariabele x Het kan dus worden afgeleid van de integraal. Je hoeft alleen maar te integreren over een exponentiële functie – het eenvoudigste argument dat denkbaar is voor integratie:

\[ \int_a^b f(x) dx = \lim_{\epsilon \to 0} f \left(\frac{d}{d \epsilon}\right) \int_a^b e^{\epsilon x} dx = \lim_{\epsilon \to 0} f \left(\frac{d}{d \epsilon}\right) \frac{e^{\epsilon b}-e^{\epsilon a}}{\epsilon} \]

Op deze manier kan het complexe deel van de integratie worden vervangen door een afgeleide. De moeilijkheid van de taak is nu om te weten wat? F(d/dε). Dit helpt hier F Het kan worden herschreven als een machtreeks: \(\sum_{k = 0}^\infty a_k \left( \frac{d}{d\epsilon} \right)^k\). Dat wil zeggen, de termen van hogere afgeleiden worden toegepast op de uitdrukking \(\frac{e^{\epsilon b} -e^{\epsilon a}}{\epsilon}\).

U kunt zich bijvoorbeeld afvragen wat er zou gebeuren als: F Het is een exponentiële functie. Met andere woorden: wat is het resultaat van de post?^{d / dε} Geldt voor elke differentiële functie: J(ε)? Zoals blijkt (zie kader hieronder), is het resultaat niets meer dan een verschuiving in functie J: H^{d / dε}J(ε) = J(ε + 1).

Omdat veel functies (zoals sinus en cosinus of hyperbolische functies) kunnen worden uitgedrukt in exponentiële functies, kunnen hun integralen zeer snel worden berekend met behulp van de nieuwe methode – zelfs als er veel aan elkaar zijn gekoppeld. Waar anders partiële integraal keer op keer wordt gebruikt, kun je nu slim afgeleiden berekenen.